差速泵是一種新型的容積泵，可以替代大型植保機(jī)械常用的柱塞泵、隔膜泵，滿(mǎn)足大排量和低脈動(dòng)率的要求，提高施藥效果。差速泵的工作原理是通過(guò)相鄰葉片周期性的差速轉(zhuǎn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)密閉容積腔周期性變化和周向轉(zhuǎn)移，實(shí)現(xiàn)差速泵吸液和排液功能。根據(jù)葉片的驅(qū)動(dòng)方式不同，目前差速泵主要有轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿-齒輪式差速泵、萬(wàn)向節(jié)齒輪機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)差速泵、非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵3 種類(lèi)型。轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿-齒輪式差速泵和萬(wàn)向節(jié)齒輪機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)差速泵由于存在驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)較大的沖擊、噪聲等缺點(diǎn)逐漸被淘汰，而非圓齒輪驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)因有較好的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性，成為差速泵的主要驅(qū)動(dòng)形式。目前較好的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)是傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的四葉片差速泵綜合性能已經(jīng)優(yōu)于偏心圓-非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵，但是通過(guò)數(shù)值計(jì)算和樣機(jī)試驗(yàn)，經(jīng)過(guò)建模分析，非圓齒輪副的高階比和節(jié)曲線的變性系數(shù)可以有效改善傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)六葉片差速泵的性能。
本文提出變性高階比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的六葉片差速泵，對(duì)其進(jìn)行建模、計(jì)算軟件編寫(xiě)、計(jì)算結(jié)果分析、試驗(yàn)及性能對(duì)比，以得到更優(yōu)的差速泵驅(qū)動(dòng)方式。
一、變性高階比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的六葉片差速泵計(jì)算模型
六葉片差速泵基本結(jié)構(gòu)和工作原理
高階比非圓齒輪是指主、從非圓齒輪的階數(shù)比大于 1 的非圓齒輪副(如階數(shù)比為 2 ∶ 1、3 ∶ 2、4 ∶ 3 等) 。變性是指對(duì)節(jié)曲線極角進(jìn)行分段處理，變性系數(shù)使節(jié)曲線具有局部變形能力。變性高階比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的六葉片差速泵主要由變性高階比傅里葉非圓齒輪副和六片差速葉輪組成，如圖 1 所示。
1.齒輪箱 2.輸入軸 3.輸出軸 4.第一變性傅里葉非圓齒輪 5.第二變性傅里葉非圓齒輪 6.第一從動(dòng)非圓齒輪
7.第二從動(dòng)非圓齒輪 8.軸套 9.聯(lián)軸器 10.電機(jī) 11.泵體 12.第一葉輪 13.第二葉輪
圖 1 6∶ 3階變性傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵簡(jiǎn)圖
以 6 階對(duì) 3 階變性傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的六葉片差速泵為例，6 階的第一、第二變性傅里葉非圓齒輪同軸安裝，安裝角相差 30°，節(jié)曲線參數(shù)相同，作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，分別驅(qū)動(dòng) 3 階第一、第二從動(dòng)非圓齒輪，帶動(dòng)相連接的第一葉輪和第二葉輪作周期性差動(dòng)周轉(zhuǎn)，B、D、F 腔處于吸液口 1、2、3 時(shí)，第一葉輪轉(zhuǎn)速快于第二葉輪，B、D、F 腔容積增大，吸入液體; 此時(shí) A、C、E 腔容積減小，分別從排液口 1、2、3 排出液體; 從動(dòng)非圓齒輪帶動(dòng)葉輪周轉(zhuǎn)，驅(qū)動(dòng) B、D、F 腔內(nèi)液體逆時(shí)針轉(zhuǎn)移，分別轉(zhuǎn)到排液口 2、3、1，根據(jù)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，此時(shí)這3 個(gè)腔體的容積開(kāi)始減小，液體在這里排出; A、C、E 腔將轉(zhuǎn)到吸液口，腔體的容積開(kāi)始增大，吸入液體。上述過(guò)程不斷重復(fù)，實(shí)現(xiàn)容積泵功能。
變性傅里葉非圓齒輪的基本數(shù)學(xué)模型
變性傅里葉非圓齒輪節(jié)曲線在一個(gè)周期內(nèi)的方程為
式中：
n1———節(jié)曲線階數(shù)
m11、m12———節(jié)曲線的變性系數(shù)
a0、a1、b1、a2、b2———傅里葉函數(shù)的參數(shù)
已知主動(dòng)變性傅里葉非圓齒輪節(jié)曲線方程為 r1 = r1 ( φ1 ) ，變性傅里葉非圓齒輪副中心距為 a，則傳動(dòng)比函數(shù)為
主動(dòng)非圓齒輪節(jié)曲線方程 r1 ( φ1 ) 、中心距 a 和傳動(dòng)比 i12之間的關(guān)系可以表達(dá)為
從動(dòng)非圓齒輪節(jié)曲線方程為
主動(dòng)和從動(dòng)非圓齒輪轉(zhuǎn)角關(guān)系為
對(duì)于從動(dòng)非圓輪節(jié)曲線，封閉的條件要求從動(dòng)非圓齒輪在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期 T = 0 ～ 2π 范圍內(nèi)，i12 和 r2 的變化周期為
，且 T = 0 和 T = 2π 時(shí)的 r2 相等。在 i12的一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角為
，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角為
即在主動(dòng)非圓齒輪旋轉(zhuǎn)一周從動(dòng)非圓齒輪轉(zhuǎn)角為
根據(jù)節(jié)曲線表達(dá)式和轉(zhuǎn)角關(guān)系得變性傅里葉非圓齒輪節(jié)曲線封閉條件
六葉片差速泵排量、流量和不根切最大模數(shù)計(jì)算模型
為計(jì)算方便，葉片展角為 30°，根據(jù)六葉片差速泵工作原理，六葉片差速泵的排量為
式中：
Δψmin———兩葉片最小張角，rad
Vmin———封閉腔最小容積，mL
Δψmax———相鄰兩葉片最大張角，rad
Vmax———封閉腔最大容積，mL
R———葉片半徑，mm
r———葉輪軸半徑，mm
h———葉片厚度，mm
六葉片差速泵的瞬時(shí)流量為
其中
式中：
V———單泵排液腔容積變化量，mL
φ1———第一變性傅里葉非圓齒輪瞬時(shí)轉(zhuǎn)角， rad
ω———輸入軸角速度，rad /s
ψ1———第一葉輪轉(zhuǎn)角，rad
ψ2———第二葉輪轉(zhuǎn)角，rad
i21———第一從動(dòng)非圓齒輪與第一變性傅里葉非圓齒輪轉(zhuǎn)速比
i43———第二從動(dòng)非圓齒輪與第二變性傅里葉非圓齒輪轉(zhuǎn)速比
為降低瞬時(shí)流量脈動(dòng)率，通常需要 2 個(gè)六葉片差速泵并聯(lián)使用，并聯(lián)的兩個(gè)差速泵相位差為 30°， 雙泵并聯(lián)的瞬時(shí)流量為
式中：
V2———雙泵排液腔容積變化量，mL
不產(chǎn)生根切時(shí)允許齒輪的最大模數(shù) mmax 的條件為
式中：
α0———齒條刀齒形角
h*α0 ———非圓齒輪齒頂高系數(shù)
ρmin———非圓齒輪節(jié)曲線的最小曲率半徑
當(dāng) α0 = 20°，h*α0 = 1 時(shí)，不產(chǎn)生根切時(shí)允許齒輪的最大模數(shù) mmax為
六葉片差速泵設(shè)計(jì)計(jì)算軟件
根據(jù)建立的變性高階比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵計(jì)算模型，采用 Matlab 編寫(xiě)性能分析軟件，如圖 2 所示。
設(shè)計(jì)及性能分析軟件
通過(guò) GUI 人機(jī)交互界面，可以調(diào)整節(jié)曲線各參數(shù)，主要有傅里葉函數(shù)的參數(shù) a0、a1、a2、b1、b2、n1、n2、節(jié)曲線變性系數(shù)和泵結(jié)構(gòu)參數(shù)。通過(guò)該軟件可分析差速泵的流量脈動(dòng)率、流量、排量和不根切最大模數(shù)等性能。
二、變性高階比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的六葉片差速泵參數(shù)關(guān)聯(lián)性
階數(shù)比對(duì)六葉片差速泵性能的影響
節(jié)曲線階數(shù)比直接影響傳動(dòng)比周期，再根據(jù)六葉片差速泵相關(guān)計(jì)算模型，非圓齒輪傳動(dòng)比周期將影響差速泵進(jìn)出口分布、排量、瞬時(shí)流量和非圓齒輪不根切最大模數(shù)等。根據(jù)數(shù)學(xué)模型，六葉片差速泵的從動(dòng)非圓齒輪為 3 階，因此本文以 3 階從動(dòng)非圓齒輪為基礎(chǔ)，選擇性能較好的傅里葉參數(shù)，逐級(jí)改變階數(shù)比，階數(shù)比變化范圍為 1∶ 3 ～ 6∶ 3，葉輪外半徑為 90 mm，葉輪軸半徑為20 mm，葉片厚度為50 mm，進(jìn)出口和葉片角角度差 2°，輸入軸轉(zhuǎn)速 1 000 r /min，雙泵并聯(lián)相位相差 30°，分析階數(shù)比變化對(duì)單泵和雙泵的脈動(dòng)率、排量、不根切最大模數(shù)和泵結(jié)構(gòu)的影響，對(duì)應(yīng)的節(jié)曲線形狀如圖 3 所示，差速泵性能比較如表 1 所示。
(1) 當(dāng)節(jié)曲線階數(shù)比為 1∶ 3，主動(dòng)節(jié)曲線和從動(dòng)節(jié)曲線為凸，此時(shí)不根切最大模數(shù)為 1. 62 mm，處于中等水平，該值越大說(shuō)明齒輪承載能力越大。單泵脈動(dòng)率為 155. 6% ，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為 25. 0% ，相比其他六葉片差速泵的脈動(dòng)率偏高，流量恒定性不理想，而雙泵并聯(lián)排量為 8 224. 6 mL，是不同階數(shù)比的六葉片差速泵中排量最大的。
(2) 在傅里葉參數(shù)不變情況下，設(shè)置節(jié)曲線階數(shù)比為 2∶ 3，此時(shí)主動(dòng)節(jié)曲線和從動(dòng)節(jié)曲線出現(xiàn)凹的現(xiàn)象，不根切最大模數(shù)為 0. 68 mm，節(jié)曲線不根切最大模數(shù)小于 1. 5 mm，不符合傳動(dòng)設(shè)計(jì)要求，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)方法，傳動(dòng)齒輪模數(shù)是中心距的 0. 02 倍以上，而傅里葉非圓齒輪副的中心距一般是 a0 的 2 倍，a0 取值為 35，則根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)表 mmax須大于 1. 5 mm。因此模數(shù) 0. 68 mm 不能用于承載傳動(dòng)。為了讓傅里葉節(jié)曲線凸，調(diào)整節(jié)曲線參數(shù)為 a1 = 5、a2 = 1，不根切最大模數(shù)提高到 1. 98 mm，此時(shí)單泵脈動(dòng)率為 158. 0% ，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為 31. 1% ，脈動(dòng)率處于高位，不利于流量恒定，容易產(chǎn)生較大流體噪聲，此時(shí)排量下降為 5 563. 8 mL。
(3) 傅里葉參數(shù)不變，當(dāng)節(jié)曲線階數(shù)比為 3∶ 3，此時(shí)不根切最大模數(shù)為 1. 29 mm，小于傳動(dòng)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn) 1. 5 mm，為此調(diào)節(jié)傅里葉參數(shù) a1 = 2、a2 = 1，該參數(shù)下的不根切最大模數(shù)提高到 2. 01 mm，非圓齒輪的承載能力提高，但是雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率提高到了 32. 1% ，為最高脈動(dòng)率，容易產(chǎn)生大的流體噪聲，其排量下降到 4 596. 1 mL，整體性能不佳。
(4) 當(dāng)節(jié)曲線階數(shù)比為 4∶ 3，此時(shí)不根切最大模數(shù)為 1. 47 mm，小于傳動(dòng)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn) 1. 5 mm，為此調(diào)節(jié)傅里葉參數(shù) a1 = 2、a2 = 0. 5，該參數(shù)下節(jié)曲線的不根切最大模數(shù)提高到 1. 95 mm，此時(shí)的單泵脈動(dòng)率為 118. 2% ，相比等階比節(jié)曲線降低 25. 3% ，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為 26. 7% ，降低 16. 8% ，因此節(jié)曲線的高階比可以大幅度改善脈動(dòng)率，而排量的降幅較小，雙泵并聯(lián)排量為 3 991. 4 mL，該值可以通過(guò)提高輸入轉(zhuǎn)速來(lái)改善。為此傅里葉非圓齒輪的高階比是提高差速泵性能的重要途經(jīng)。
(5) 當(dāng)節(jié)曲線階數(shù)比為 5∶ 3，此時(shí)節(jié)曲線出現(xiàn)微凹，不根切最大模數(shù)為 1. 51 mm，該值處于設(shè)計(jì)臨界值，為提高非圓齒輪的承載能力，調(diào)節(jié)傅里葉參數(shù) a1 = 1、a2 = 0. 5，不根切最大模數(shù)提高到 1. 97 mm，單泵脈動(dòng)率為 93. 5% ，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為 21. 6% ，雙泵并聯(lián)排量為 3 991. 4 mL，表現(xiàn)出較好的差速泵性能。
(6) 當(dāng)節(jié)曲線階數(shù)比為 6∶ 3，主、從動(dòng)非圓齒輪節(jié)曲線均為凸曲線，不根切最大模數(shù)為 2. 26 mm，這是不同階數(shù)比中的最高值，非圓齒輪的承載力最優(yōu); 單泵脈動(dòng)率為 77. 4% ，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為 18. 9% ，在凸節(jié)曲線中脈動(dòng)率最低，實(shí)現(xiàn)輸出流量最恒定。雙泵并聯(lián)排量為 3 749. 5 mL，該值可以通過(guò)提高差速泵輸入轉(zhuǎn)速進(jìn)一步提高。
通過(guò)對(duì)差速泵不同傅里葉非圓齒輪階數(shù)比的性能比較，傅里葉非圓齒輪的高階比可以大幅度提高節(jié)曲線的不根切最大模數(shù)，有效提高非圓齒輪的承載能力。同時(shí)可以大幅度降低脈動(dòng)率，理論上可以降低流體噪聲。因此高階比是傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵性能提高的重要途經(jīng)。
節(jié)曲線變性系數(shù)對(duì)六葉片差速泵性能的影響
節(jié)曲線變性系數(shù)的變化會(huì)影響驅(qū)動(dòng)非圓齒輪的局部傳動(dòng)比，根據(jù)計(jì)算模型，傳動(dòng)比將影響齒輪的不根切最大模數(shù)、泵的進(jìn)出口分布、瞬時(shí)流量、脈動(dòng)率和排量等重要性能指標(biāo)。為研究變性系數(shù)的影響，節(jié)曲線的傅里葉參數(shù)不變，逐步調(diào)節(jié)節(jié)曲線變性系數(shù)。本文以 6∶ 3階數(shù)比為基礎(chǔ)，選擇性能較好的高階比傅里葉參數(shù) a0 = 35、a1 = 1、a2 = 0. 2、b1 = 0. 02、b2 = 0. 15，變性系數(shù)從 1. 0 ～ 1. 5 進(jìn)行調(diào)節(jié)，分析變性系數(shù)變化對(duì)單泵和雙泵的脈動(dòng)率、排量和不根切最大模數(shù)的影響，如表 2 和圖 4、5 所示。
節(jié)曲線變性系數(shù)從 1. 0 ～ 1. 5 按 0. 1 遞增，節(jié)曲線局部出現(xiàn)變形，出現(xiàn)不對(duì)稱(chēng)特性，如圖 4 所示。單泵脈動(dòng)率隨變性系數(shù)增加而減小，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率呈現(xiàn)比例遞增趨勢(shì)，具體趨勢(shì)如圖 5a、5b 所示。主要原因是節(jié)曲線變性量增加，節(jié)曲線局部變形引起傳動(dòng)比改變，單泵流量曲線局部波動(dòng)變小，單泵脈動(dòng)率降低。而雙泵脈動(dòng)率提高，是因?yàn)楣?jié)曲線的對(duì)稱(chēng)性變差，雙泵疊加的最佳相位隨變性系數(shù)變化，而目前是 30°固定相位，為此波峰和波谷沒(méi)有最佳疊加，導(dǎo)致雙泵脈動(dòng)率隨之遞增。隨節(jié)曲線變性系數(shù)的遞增，排量呈階梯下降趨勢(shì)，不根切最大模數(shù)呈比例遞減趨勢(shì)，具體趨勢(shì)如圖 5c、5d 所示。排量減少主要原因是節(jié)曲線變性引起進(jìn)、出口位置變化，導(dǎo)致有效容積減少。不根切最大模數(shù)變小主要是局部變形引起節(jié)曲線最小曲率半徑變小(圖 4) ，最終導(dǎo)致不根切最大模數(shù)按比例變小，為滿(mǎn)足傳動(dòng)和承載的要求，節(jié)曲線變性量不宜超過(guò) 1. 3，因此節(jié)曲線變性系數(shù)在 1. 0 ～ 1. 3 可以作為差速泵設(shè)計(jì)和優(yōu)化的參數(shù)之一。
三、不同傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵性能試驗(yàn)
變性高階比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的六葉片差速泵與普通傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的四葉片差速泵性能進(jìn)行試驗(yàn)比較。為了具有可比性，六葉片和四葉片差速泵泵殼容積相同，選用經(jīng)過(guò)四葉片差速泵多目標(biāo)優(yōu)化的傅里葉參數(shù)為基本節(jié)曲線參數(shù)。
差速泵試驗(yàn)臺(tái)動(dòng)力為5. 5 kW 電機(jī)，通過(guò)變頻器進(jìn)行調(diào)速控制，變頻器設(shè)定輸入軸轉(zhuǎn)速為400 r/min，電機(jī)和差速泵之間安裝轉(zhuǎn)速測(cè)量傳感器。由于泵源流量脈動(dòng)無(wú)法使用流量計(jì)直接測(cè)量，只能采用間接測(cè)量方法。經(jīng)過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，差速泵流量脈動(dòng)引起的脈動(dòng)壓力對(duì)葉輪輸入軸有周期性沖擊作用，該作用會(huì)導(dǎo)致輸入軸的微應(yīng)變均值增大。因此在相同負(fù)載及管路環(huán)境下，葉輪輸入軸的微應(yīng)變均值可以用于間接比較不同差速泵泵源脈動(dòng)強(qiáng)度。為此試驗(yàn)使用 TQ201 型無(wú)線傳感器和應(yīng)變片組成的惠斯通橋式電路測(cè)量差速泵第一葉輪輸入軸的微應(yīng)變，將數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)無(wú)線傳輸?shù)骄W(wǎng)關(guān)，采集軟件記錄第一葉輪輸入軸的微應(yīng)變數(shù)據(jù)點(diǎn)，再通過(guò)計(jì)算微應(yīng)變均值間接反映差速泵流量脈動(dòng)強(qiáng)度。試驗(yàn)臺(tái)構(gòu)建如圖 6 ～ 8 所示，性能比較如表 3 所示。
如圖 6 所示，6∶ 3階變性傅里葉非圓齒輪和從動(dòng)非圓齒輪更接近圓形，節(jié)曲線最小曲率半徑更大，為此不根切最大模數(shù)較大，變性系數(shù)為 1. 1 時(shí)，相比 1∶ 2階傅里葉非圓齒輪增加 27. 7% ，單個(gè)輪齒可以更厚實(shí)，有利于齒輪承載。六葉片設(shè)計(jì)增加了吸、排液次數(shù)，單次吸排葉片旋轉(zhuǎn)角更小，如圖 9 所示，六葉片差速泵在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期的波峰和波谷數(shù)量增加，流量波動(dòng)密集，相比四葉片差速泵由流量脈動(dòng)引起的第一葉輪輸入軸微應(yīng)變均值降低 35. 2% ，也反映差速泵脈動(dòng)降低明顯。而其排量變化不大，僅下降 1. 2% 。可見(jiàn)變性高階比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的六葉片差速泵優(yōu)于普通傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的四葉片差速泵。
四、結(jié)論
(1) 根據(jù)差速泵原理，建立變性高階比傅里葉非圓齒輪傳動(dòng)數(shù)學(xué)模型，建立六葉片差速泵排量、流量和不根切最大模數(shù)計(jì)算模型，編寫(xiě)變性高階比傅里葉非圓齒輪差速泵性能計(jì)算軟件。
(2) 分析不同階數(shù)比和不同變性系數(shù)下的差速泵不根切最大模數(shù)、排量和脈動(dòng)率等性能，結(jié)果表明，非圓齒輪高階數(shù)比有利于提高差速泵性能，變性系數(shù)改變有利于降低單泵脈動(dòng)率。
(3) 變性高階比六葉片差速泵與普通傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的四葉片差速泵進(jìn)行試驗(yàn)研究，六葉片差速泵在泵殼容積相同情況下，不根切最大模數(shù)增加 27. 7% ; 由流量脈動(dòng)引起的第一葉輪輸入軸微應(yīng)變均值降低 35. 2% ，也反映變性高階比差速泵脈動(dòng)降低明顯; 相比四葉片差速泵，其排量變化不大，僅下降 1. 2% 。隨變性系數(shù)增加，單泵脈動(dòng)率將進(jìn)一步降低，雙泵脈動(dòng)率有望通過(guò)改變疊加相位進(jìn)一步降低，因此變性高階比非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵更適用于低脈動(dòng)、大載荷工況。
參考文獻(xiàn)略.