一、概述
公法線的測量原理：漸開線任一點的法線都與基圓相切。因此齒輪公法線必與基圓相切，且公法線長度Wk=(Kx-1)*Pbn+Sbn(其中Kx為跨齒數，Pbn為基圓法向齒距，Sbn為基圓法向弧齒厚，見圖1所示)。
圖1 測公法線長度
跨齒數確定的基本原則：跨齒數過多，測量點靠齒頂;跨齒數過少，測量點靠齒根。因齒頂有修緣和齒根有過渡曲線，如果測砧接觸部位在齒頂或齒根等非漸開線區域時，測量結果就不再是真正的公法線長度。測量公法線時，接觸點以靠近齒廓中間部位為好(但要注意讓開最大鼓形量的位置)。
跨齒數的約束條件：只要跨齒數合理，測量接觸點不過分靠近齒頂、齒根時，“公法線卡尺的測砧分別在齒廓兩側有效漸開線部分的不同位置上”，對測量結果均沒有影響，公法線長度數值都是相同的。因此同一個齒輪可以有幾組不同的跨齒數來測量公法線長度(如圖1)。但測斜齒輪時，由于齒輪寬度Wb的限制(見圖2所示)，跨齒數必須滿足Wk*Sin(Bf)<wb才能測量，否則要減少跨齒數。< p=""> </wb才能測量，否則要減少跨齒數。
圖2 齒寬的限制
《機械原理》、《齒輪手冊》等專業齒輪書籍沒有詳細介紹變位外斜齒輪公法線長度和跨齒數的計算公式的推導過程,更沒有接觸圓直徑計算公式的說明。對一些齒廓有鼓形修形和齒頂齒根有修緣的齒輪，其測量位置對公法線長度的影響沒有詳細專業的論述。而有些期刊上的跨齒數公式太煩瑣甚至有誤，對從事齒輪工作的工程技術人員來說，不能起到很好的指導作用。因此有必要對跨齒數的理論計算公式和取整后公法線卡尺的實際接觸圓位置進行精確求證。
二、公式推導
變位外斜齒輪公法線長度的計算公式
根據基圓周長換算，端面基節Pbt=π*D0/Z
法向基節Pbn=Pbt*cosB0=π*D0/Z*cosB0
基圓法向弧齒厚Sbn=(Sft/df+invaft)*d0*cosB0
變位外斜齒輪公法線長度的計算：Wkn=(kx-1)*Pbn+Sbn
Wkn=(kx-1)*Pbn+Sbn
=(kx-1)* π*D0/Z*cosB0+ (Sft/df+invaft)*D0*cosB0
=D0*cos(B0)*[ (kx-1) *π/Z+Sft/df +invaft] ，invaft=tan(aft)-aft。
△Wkn= D0*cos(B0) /df * △Sft ，由此可見公法線長度公差△Wkn略小于分圓端面弧齒厚公差△Sft。
其中Z=齒數， Sft=分圓端面弧齒厚，B0=基圓螺旋角，D0=基圓直徑，df=分圓直徑，Kx=跨齒數，aft=分圓端面壓力角。
跨齒數Kx的確定
根據指定的公法線千分尺的兩邊相同的接觸圓直徑Dfx(現簡稱為“等接觸”)，計算跨齒數Kx:
圖3 測公法線Wkx和等接觸圓直徑Dfx
根據圖3有：2*aftx=360/z*(Kx-1)+sftx/(Dfx/2)*180/π
aftx=180/z*(Kx-1)+(π*Mnx/2+2*Mnx*Xfnx*tan(afnx))/cos(Bfx)/Dfx*180/π
aftx=180/z*(Kx-1)+(π/2+2*Xfnx*tan(afnx))*Mnx/cos(Bfx)/Dfx*180/π， Mnx/cos(Bfx)/Dfx=1/z
aftx=180/z*(Kx-1)+(π /2+2*Xfnx*tan(afnx))/z*180/π
z/180*aftx=(Kx-1)+(0.5+2*Xfnx*tan(afnx)/π)
z/180*aftx=(Kx-0.5)+ 2*Xfnx*tan(afnx)/π
跨齒數Kx= z/180*aftx -2*Xfnx*tan(afnx)/π+0.5，這里的aftx、Xfnx、afnx、Mnx、Bfx等均指任意接觸圓Dfx上的參數，它滿足以下式子：
Df=Mn/cos(Bf)*Z; D0=Df*cos(aft)
Df/tan(Bf)=Dfx/tan(Bfx)
Cos(aftx)=D0/Dfx; tan(afnx)= tan(aftx) * cos(Bfx)
Mn*cos(afn)=Mnx*cos(afnx)
Sfn/cos(Bf) /df+inv(aft)= Sfnx/cos(Bfx) /Dfx+inv(aftx)
Xfnx=(Sfnx-π*Mnx/2)/(2*Mnx*tan(afnx))
要求出Dfx，則需要采用迭代運算：當Kx取大時，端面壓力角aftx也要加大;反之要減小。
公法線千分尺的測砧與齒廓的接觸圓直徑的計算公式
已知一邊的接觸圓直徑Dfx1，求另一邊的接觸圓直徑Dfx2(請參考圖4)
圖4 測公法線Wkt1和非等接觸圓直徑Dfx1
理論端面公法線
Wkt = Wkn / Cos(B0)
cosaftx1 = d0 / Dfx1
Dfx1上的壓力角
aftx1 = Atn(Sqr(1 - cosaftx1 ^ 2) / cosaftx1)
Wkt1 = d0 / 2 * Tan(aftx1)
Wkt2 = Wkt - Wkt1
Dfx1上的壓力角
aftx2 = Atn(Wkt2 * 2 / d0)
測砧接觸圓直徑
Dfx2 = d0 / Cos(aftx2)
如果知道齒輪鼓形量最大值的直徑dgmax，可以直接取Dfx1≠dgmax或Dfx2≠dgmax即可避開該鼓形區域進行測量。當然在用小壓力角滾刀進行粗加工時，齒根的過渡曲線會變長，滾齒漸開線起始圓的直徑比磨后的要大。因此測量公法線長度時也要避開此過渡區域(見圖5)。
圖5 滾齒仿真圖(左右兩條綠色線分別為滾齒和磨后漸開線)
三、應用案例分析
問題描述
在滾削某新能源齒輪，具體參數為：Mn=2.316，Z=47，Bf1=28°，afn1=18°，Sfn1=4.155(熱前留磨量0.25，W5=33.46)，Da=131.1，Di=117.4，齒寬20。當滾齒公法線尺寸W5=33.46時，發現齒根圓Di1=118.2>117.4。查滾刀設計與制造都正確，不知什么原因會導致滾齒時齒根圓直徑變大?
滾齒仿真分析
經計算和滾齒仿真發現：滾齒后有效漸開線起始圓直徑Φ123.85已經接近齒廓中部，過渡曲線加長了很多，按跨5齒測公法線Wk5=33.46時，計算測砧與齒廓的理論等接觸圓Dftx=121.59<123.85。這說明實際測量公法線長度時，公法線卡尺的測砧接觸到了齒廓下面的過渡曲線AB(而不是左邊綠色的漸開線部分)。測量結果錯誤(說明齒厚實際偏大)，從而導致滾刀還沒進到深度，就誤以為齒厚已到尺寸，這樣齒根圓直徑也就會偏大。
改進辦法
由于從Φ123.85到齒根圓Φ117.4之間的齒形，都是非漸開線，實際測量公法線時兩邊測砧接觸部位都必須要高于A點。因此增加跨齒數kx=6，讓測砧接觸位置往外移，分別計算跨6齒和跨7齒時的等接觸圓，結果如下：
圖6 跨6齒測量
圖7 跨7齒測量
根據軟件計算采用跨7齒測量Wk7=47.30，公法線卡尺的測砧等接觸圓Dftx7=127.20>123.85!但因為47.3*sin28°=22.2> Wb=20的齒寬而無法測量。
采用跨6齒測量：Kx=6，Wk6=40.38，公法線卡尺的測砧等接觸圓Dftx6=124.19(其接觸圓的變化范圍123.85-124.53較小，需要細心檢測)。這樣齒輪公法線長度和齒根圓直徑都能夠同時保證。
四、結束語
由于滾齒時的有效起始圓直徑比成品的SAP大。因此跨齒數選擇不合適，將會導致公法線千分尺的測砧接觸位置不對，從而讓公法線尺寸出現錯誤。在確定跨齒數時要驗算接觸圓尺寸位置是否在留磨時的SAP點和EAP點之間，否則測出的公法線尺寸是不對的。
對于齒形有鼓形量的產品，可以通過改變跨齒數及左右兩邊接觸點的位置(此時兩邊接觸圓直徑不相等)來讓開高點。由于接觸圓直徑不能直接測量，因此需要有豐富經驗的師傅來擔當。當然也可以用合適的鋼球來測M值，讓接觸點的位置更好地避開鼓形區域或非漸開線區域。