在日益嚴酷的市場競爭中，產品的使用壽命和可靠性成為人們越來越關注的焦點。每年因結構疲勞失效導致大量產品在其服役期內報廢，且由于疲勞失效而造成的特重大事故也時有發生。在傳統機械零件的設計過程中，機械產品的疲勞壽命通常是通過一定量物理樣機的耐久試驗得到的，不但試驗周期長，耗資巨大，且疲勞試驗結果存在很大的分散性，影響因素眾多。
齒輪是傳動機構中常用的典型元件，也是關鍵零件。齒輪的壽命決定了傳動機構的壽命。齒輪失效，可分為齒根彎曲斷裂和齒面損傷兩大類。本文主要考慮齒輪齒根的彎曲疲勞斷裂及其相應的壽命預測方法。
一、某型電動機構齒輪輪齒壽命預測
某型電動機構外形輪廓如圖1所示。該型電動機構主要由電動機、多級齒輪減速器、輸出軸、輸出搖臂以及安裝支架等組成。其中，減速器由一級平行軸圓柱齒輪傳動加三級串聯式行星齒輪組成。
圖1 某型電動機構三維剖視圖
構建輪齒材料的S-N 曲線
輪齒材料為 38CrMoAlA，從材料手冊中可知，材料38CrMoAlA 的強度極限σb=980MPa，光滑試樣 (kt=1)的旋轉彎曲疲勞極限σ-1約為 520 MPa。缺口試樣(kt =2.4)的疲勞極限約為 320 MPa。
在103循環處，按照 RobertC.Juvill等的建議，疲勞強度σ103約為：
在長壽命、高周疲勞范圍可構建材料的S-N 曲線(見圖2)。中值S-N曲線在雙對數坐標中近似為一條直線，滿足直線關系式：
取對數
圖2 材料38CrMoAlA 的S-N 曲線
圖2中，直線AB通過點A(103，8882 MPa)、B (107，520MPa)，則可得到系數
所以，材料的S-N 曲線的數學表達式為：
同理，可構建應力集中系數kt=2.4的直線 AC 的數學表達式。
構建齒輪輪齒的S-N 曲線
材料的S-N 曲線一般都是基于光滑、拋光小試樣進行試驗得到的。真實構件的S-N曲線與構件的形狀、構件的尺寸、表面加工質量、使用條件以及外界環境等因素都有直接關系，必須考慮這些綜合因素的影響。
1.考慮齒形形狀影響(應力集中系數kt)的齒輪彎曲疲勞極限
真實構件的形狀主要是考慮真實結構的不連續性，即存在應力集中。在齒輪齒根處，過渡圓角r的大小會影響應力集中的程度，過渡圓角r越小，應力集中程度越高。模數 m=0.4mm 的齒形齒根應力集中系數計算示意圖如圖3所示。按照早期的 EarleBuckingham 以及近期的 Peterson等推薦的經驗公式，參照圖3，可以確定齒根應力集中系數。
圖3 齒輪齒根應力集中系數計算示意圖
對于20°壓力角的齒形，Peterson推薦的應力集中系數經驗公式為：
按照已有的 38CrMoAlA 材料試驗數據，光滑試樣(kt =1)的旋轉彎曲疲勞極限σ-1 約為 520 MPa，缺口試樣(kt =2.4)的疲勞極限約為320 MPa。可根據線性插值應力集中系數kt=2.49 所對應的疲勞極限：
得到：σkt=2.49=312.5 MPa。所以，考慮應力集中的影響，將模數 m=0.4mm 的齒形疲勞極限修正為312.5MPa。
2.輪齒構件尺寸影響系數εσ
在疲勞試驗機上試驗的試樣直徑通常為6～10 mm，而一般零件的尺寸與試樣有很大差別。根據疲勞理論，在相同的名義應力水平下，大尺寸構件的高應力區域大于小尺寸的高應力區域，所以大尺寸構件的疲勞壽命小于小尺寸構件的疲勞壽命。
根據輪齒的齒寬2.3mm、齒厚0.646mm，按照矩形截面的尺寸修正因子公式，計算有效直徑：
所以，尺寸修正系數εσ為
3.輪齒表面加工質量影響系數β
材料疲勞試件的表面都是經過拋光處理的，表面質量較高。考慮制造成本，實際服役零件的表面一般不可能都經過拋光處理，粗糙的表面相當于存在很多微小缺口，即結構缺陷(裂紋源)，在零件承受交變載荷時就會產生應力集中。根據齒輪加工方式，選擇相應的機械加工表面質量系數，計算表面質量影響系數：
式中，Sut是材料的拉伸極限強度，單位為 MPa。
綜上所述，考慮齒形的應力集中、尺寸效應以及表面加工質量等因素，齒輪輪齒的疲勞極限為：
至此，可以構建齒輪輪齒的S-N 曲線(見圖4)，該曲線經過A(103，882MPa)、D(107，286.22MPa)。
圖4 模數 m=0.4mm 輪齒的S-N 曲線
齒輪服役工況下的應力計算
應用有限元軟件 ANSYS Workbench，可以實現齒輪嚙合瞬態動力學仿真，獲得輪齒嚙合運行工作狀態下準確的動態應力/應變-時間歷程響應。以第1級展開式圓柱直齒輪為例，主要計算過程如下。
1.齒輪結構簡化及網格劃分
真實的齒輪結構，細節特征眾多，應對齒輪結構進行合理的簡化，以便實現高質量的網格劃分及仿真計算。
2.邊界條件設置
瞬態動力學仿真能很好地模擬齒輪嚙合的動態過程，包括啟動瞬間的加速沖擊，所以轉速、轉矩邊界條件都考慮瞬態沖擊的影響，采用斜坡加載，加速時間為5ms。
3.瞬態動力學分析設置
齒輪嚙合瞬態動力學仿真，涉及輪齒接觸摩擦、大轉動大變形以及材料塑性變形等非線性效應，所以瞬態動力學仿真面臨的最大挑戰就是計算的收斂性，應重點考慮如下幾個方面：1)接觸表面網格的精細化;2)打開大變形、大轉動開關;3)材料的非線性效應;4)載荷采用斜坡加載;5)積分時間步長 Δt的正確設置。
根據結構動力學理論，當積分時間步長 Δt≤ T/20時，Newmark法的計算結果與解析解的誤差小于5%，其中，T 為結構的自振周期。
4.有限元計算結果
齒輪嚙合瞬態動力學應力計算結果如圖5所示。從應力-時間響應歷程曲線可以看出，輪齒最大應力隨著齒輪嚙合呈周期性變化，符合齒輪嚙合一般規律，說明有限元仿真結果體現了齒輪嚙合單齒受力呈周期性的特點。局部放大最大應力區域所在位置，結果如圖6所示。
圖5 齒輪嚙合等效應力-時間歷程曲線
圖6 齒根圓角等效應力
從最大應力的局部放大圖(圖6)中可以看到，最大應力主要分布在齒形接觸表面、齒根等位置。決定齒輪彎曲疲勞強度的是齒根過渡圓角處的彎曲應力，由于齒根過渡圓角處存在應力集中，局部應力提高。從齒根圓角處的等效應力圖中提取拉伸側的齒根圓角等效應力值174.46 MPa。根據該型電動機構使用過程中雙向嚙合-44°～+65°的特點，兩側齒面均循環重復受載，屬于對稱循環載荷，平均應力等于0，所以不用考慮平均應力的影響。
綜上所述，齒輪嚙合對稱循環受載，具有如下的循環參數：最大應力σmax =174.46 MPa，最小應力 σmin=-174.46MPa，平均應力σmean=0MPa。
結合38CrMoAlA 材料以及輪齒的S-N 曲線可見，局部最大應力為174.46 MPa，小于輪齒疲勞極限286.22MPa(且未考慮應力集中的影響，未將局部應力轉化為對應的名義應力S)，所以第1級圓柱齒輪理論上能長期使用，不會發生輪齒彎曲斷裂現象，能滿足該型電動機構設計使用壽命270000次循環的要求。
1.減速器末級行星齒輪壽命預測
該型電動機構的第2、3、4級傳動均為行星齒輪傳動，且減速比相同，均為6.35。除了第4級行星齒輪的齒寬為9mm，第2、3級齒寬均為2.3mm 以外，各級行星齒輪結構形式均相同。按照減速器的能量轉換特點，末級轉速最低，輸出轉矩最大，對末級行星減速齒輪進行相應的計算，計算結果見表1。
表1 行星齒輪齒根局部應力及其轉換名義應力
由于輪齒齒根處存在應力集中，按1.2.1節確定的應力集中系數2.49，將局部應力轉換為名義應力：
655.83/2.49=263.38(MPa)
477.74/2.49=191.86(MPa)
389.39/2.49=156.38(MPa)
由于263.38 MPa<286.22 MPa，即太陽輪齒根最大名義應力263.38 MPa小于齒根疲勞極限 286.22MPa，所以行星齒輪能夠長期使用，不會發生輪齒彎曲斷裂，滿足該型電動機構設計使用壽命270000次的要求。
二、試驗驗證情況
針對該型電動機構設計壽命270000次循環的要求，開展了實物試驗(見圖7)。試驗設備主要由測試臺、負載裝置、計數器、控制電路以及試驗產品等組成。考慮試驗成本及試驗周期，試驗件只加工了3套合格產品。
圖7 試驗裝置
經過耐久疲勞試驗，3套試驗產品均通過了270000次循環壽命的試驗考核，傳動系統無故障，齒輪輪齒無斷裂現象發生，結構安全可靠。限于試驗件只有 3 件，不能進行疲勞壽命的概率統計分析。
按照各級齒輪的理論壽命預測，齒輪齒根彎曲壽命均低于疲勞極限286.22MPa，理論上可以無限次使用，3套試驗件的試驗結果也論證了理論計算的正確性，說明本文采用的疲勞壽命預測方法具有一定的可信度，可以作為齒輪齒根彎曲疲勞壽命預測的參考。
三、結語
通過對某型電動機構傳動系統齒輪嚙合的瞬態動力學仿真，得到齒輪運行工況下的應力-時間響應歷程曲線。進一步結合材料的S-N 曲線，并考慮齒形的應力集中系數、尺寸效應系數，以及齒輪表面加工質量系數等因素的影響，得到齒輪的修正S-N 曲線。將齒形根部的局部應力通過應力集中系數轉換到對應的名義應力，就可以對標齒輪修正的S-N 曲線，得到齒輪的齒根彎曲疲勞壽命N。最后，結合產品實物試驗，驗證了齒輪齒根彎曲疲勞壽命計算方法的準確性，可以將該方法推廣應用于其他機械產品的疲勞壽命預測。