感應加熱淬火是機械加工中一項至關重要的工藝。相關研究表明，傳動零件失效的主要原因是由于表面損壞造成的，例如齒輪的失效主要源于齒面磨損、齒面點蝕和輪齒折斷等。因此，采用合適的工藝對零件進行表面淬火，增加零件表面的硬度和耐磨損程度對提高機械設備的壽命和可靠性具有重要意義。感應加熱淬火相比于傳統的淬火方式具有操作簡便、加熱速度快、能源利用率高，更加節能環保等優勢，因此廣泛用于我國的機床制造、汽車、工程機械和石油機械等領域。隨著“碳達峰、碳中和”目標的提出，企業更加重視節能環保，此外國家針對感應加熱也提出了相應的電耗定額。為了實現更高的能源利用效率，需要借助于計算機模擬仿真技術對感應加熱裝置進行設計與優化。通過電磁-熱多物理耦合仿真計算得到工件內渦流分布和溫度場分布，根據溫度場隨時間的變化過程可以了解感應加熱的效果，以此為依據可以對感應加熱頻率、激勵線圈幾何形狀、激勵線圈與工件的相對位置等參數進行優化設計。有關感應加熱的數值模擬方法已有很多研究，張根元等基于ANSYS模擬了感應淬火過程中電流密度、電流頻率和加熱時間對淬火工藝參數的影響，黃軍等利用ANSYS仿真研究了不同感應電流頻率的組合對無縫鋼管加熱速度的影響，張鵬飛等利用Maxwell 3D軟件建立了帶鋼電磁-熱耦合模型，研究了加熱線圈的電流和頻率對帶鋼溫度的影響。以上基于商業軟件的仿真分析為感應加熱過程的優化提供了指導，然而如何改進多物理耦合計算方法，以便進一步提高計算效率，還需要更多的研究。
本文基于自主開發的電磁及多物理仿真平臺 EMPbridge，對齒輪感應淬火中涉及的電磁-熱多物理耦合過程進行了仿真，考慮了材料參數隨溫度的變化，采用頻域、時域相結合的方法提高了計算效率，為后續進一步開發感應加熱專用仿真和優化軟件提供了參考。
一、感應加熱過程的電磁-熱多物理耦合分析
電磁場數學模型：感應加熱中涉及渦流損耗的計算，需要求解磁準靜態場，其微分方程形式如下：
式中：E為電場強度(V·m-1) ；H為磁場強度(A·m-1)；D為電位移矢量(C·m-2)；B為磁感應強度(Wb·m-2)；ρe為電荷密度(C?m-3)；J為電流密度(A·m-2)。
由本構關系和電流密度的定義可以得到材料特性與電磁場的關系：
式中：μ為磁導率，σ為電導率，本文中它們是隨溫度變化的參數，其變化曲線通常通過測量得到。
由于感應加熱的激勵電流一般為正弦電流，假定材料參數不隨磁場和電場變化，上式可以寫為復數形式在頻域求解：
式中：帶上標的
分別表示各場量的復數形式，ω為激勵電流的角頻率。
結合相應的邊界條件，在頻域中求解以上磁準靜態場問題，即可得到在感應加熱頻率下激勵電流在齒輪工件中產生的渦流分布，進而得到相應的渦流損耗。
熱場數學模型：感應加熱過程中的熱場由瞬態熱傳導方程描述：
式中：ρ為密度(kg?m-3)；Cp為比熱容(J?kg-1?K-1)；T為溫度(K)；λ為導熱系數(W?m-1?K-1)；Q為熱源密度(W?m-3)。熱源來自于感應渦流產生的渦流損耗，其表達式為：
結合邊界條件和溫度的初始條件，在時域中求解以上熱擴散方程，可以得到各個時刻對應的溫度場分布。
電磁-熱多物理耦合過程：感應加熱中涉及的電磁-熱多物理耦合過程為雙向耦合，即交變電磁場在工件中感應出渦流，渦流損耗作為熱源引起溫度場的變化，溫度場變化進一步引起材料參數的變化，而材料參數的變化又導致電磁問題中渦流場分布的變化，其耦合示意圖如圖 1所示。
圖1 感應加熱中電磁-熱雙向耦合示意圖
感應加熱的激勵頻率在數十kHz數量級，對應的時間變化周期在數百微秒左右，而加熱時間卻需要數秒才能完成，兩者相差四個數量級，若以適應電磁場變化快慢的時間步進行離散，則總體的時間步數將過于龐大。為解決此多時間尺度問題，在本仿真計算中，電磁場問題在頻域中求解，熱場問題在時域中進行求解，其耦合求解過程如圖2所示，即首先在求解區域給定一個初始溫度分布并根據初始溫度時的材料參數計算初始時刻。(t=t0)時的頻域電磁場，獲得渦流分布，然后將渦流損耗作為熱源代入，計算時間步長為△t的時域熱場問題，得到t1時刻的溫度場分布。根據此溫度場分布，結合材料參數(μ，σ)隨溫度變化的曲線，可以得到t1時刻溫度變化后的材料參數。由于材料參數的變化，渦流分布也相應變化，因此t1時刻的電磁場需要利用新的材料參數重新計算，并得到新的渦流損耗，以代入熱場方程計算下一時刻的溫度場分布。之后的過程依此類推，直到到達瞬態熱場設置的仿真時長為止。
圖2 電磁-熱耦合求解過程示意圖
值得注意的是，此過程為顯式算法，即下一時間步的解可以通過前一時間步的解直接計算得到，因此時間步長的取值不能太大，否則單個時間步內溫度變化太大會導致材料參數無法滿足線性近似條件。同樣，時間步長也不宜選取得過小，否則將增加不必要的計算量和計算時間。可根據某時刻磁導率和電導率的梯度決定時間步長的大小，梯度大(材料參數變化快)時時間步長小，反之，時間步長大。
二、齒輪淬火數值分析算例
齒輪淬火仿真模型的建立：如圖3所示，利用EMPbridge平臺建立齒輪的幾何模型。齒輪的幾何尺寸采用模數為2.5的齒輪，齒數為26，可以計算得到齒輪的直徑約為65 mm。
圖3齒輪幾何模型示意圖
齒輪的材料是常用的45#鋼，其通過測量得到磁導率和電導率參數隨溫度的變化如圖4所示。
圖4 45# 鋼材料參數隨溫度的變化
對齒輪進行網格剖分時，需要將渦流透入深度的大小作為網格剖分尺寸的參考。渦流透入深度δ由感應加熱頻率、磁導率和電導率共同決定，其計算公式為：
仿真中選用的感應加熱電流頻率為50kHz，在室溫20℃時，根據圖4查到的相對磁導率和電導率可以計算得到渦流透入深度約為：0.07 mm。當工件升溫至900℃時，由于溫度已經高于居里溫度，工件快速退磁，相對磁導率下降到1左右，且電導率也隨溫度下降，此時的渦流透入深度增加到2.4mm左右。在透入深度范圍內渦流幅值成指數形式下降，因此在齒輪表面透入深度范圍內需要對網格進行精細剖分。如圖5所示，在齒輪的齒部進行精細剖分，而在遠離齒輪邊緣的部分采用相對較粗的網格剖分尺寸。
圖 5 齒輪網格剖分示意圖
渦流與溫度場的變化規律：隨著感應加熱過程的進行，齒輪齒部的溫度逐漸上升，而溫度的上升將引起材料參數的改變，從而導致渦流場分布產生變化。如圖6(a)所示，在初始時刻，溫度為室溫，渦流透入深度很淺，渦流場集中于齒輪邊緣。
當齒輪齒根部位的溫度上升到700T時，此時的材料的磁導率到達居里溫度附近，根據圖4(b)的曲線可知，到達居里點后溫度的小幅升高將導致磁導率的大幅下降，此時透入深度增加，渦流場分布向齒輪內部擴散，如圖6(b)所示。
隨著感應加熱的進一步進行，齒輪的整個齒部都已經升溫至居里溫度以上，此時渦流分布再次沿齒輪外沿分布，但是透入深度增加到2.4mm左右，如圖6(c)所示。
圖6 渦流分布隨溫度的變化趨勢
由以上結果可見，渦流分布隨溫度的上升而變化，并反過來影響溫度的分布，因此感應加熱過程需要考慮電磁-熱的雙向耦合過程。
齒輪材料參數隨溫度的變化：由于感應加熱過程中，齒輪齒部的溫度高，而齒輪內部的溫度低，因此齒輪不同部位的材料參數并不一致，而是與溫度場的分布相關。如圖7所示，在加熱過程中，溫度高的部位，磁導率和電導率下降明顯，而齒輪內部由于溫度升高不明顯，其材料參數與室溫時基本相同。對比圖6(b)和圖7可以進一步印證1.3節中所闡述的電磁-熱雙向耦合過程。圖7中齒根部位的溫度升高導致此區域的磁導率和電導率大幅下降，根據公式(10)可知透入深度將升高，觀察圖6(b)可以發現齒根部位的電流密度升高，渦流透入齒輪齒根部位。
圖 7 齒輪材料參數隨溫度的分布
三、結論
本文針對齒輪淬火加熱的實際工程問題，對感應加熱中涉及的多時間尺度電磁-熱多物理耦合過程進行了剖析。在仿真中考慮了電導率和磁導率參數隨溫度的非線性變化，闡述了利用頻域-時域混合的方法對電磁-熱雙向耦合問題進行仿真計算的方法。通過分析仿真結果，給出了渦流場分布受熱場分布影響的規律，為齒輪感應加熱的優化設計提供了參考。
參考文獻略.