一、引言
由于齒輪減速器具有傳動比固定、結構緊湊、傳遞扭矩較大、傳動可靠等優點，其被廣泛的應用于機械設備中。在傳統的機械設計方法中，只能通過對強度、剛度等性能指標的校核，不斷試湊，一次設計只能得到一組符合性能要求的方案，并且很難確定該設計方案是否具有良好的經濟技術指標。而在以往的減速器優化設計過程中，由于離散變量的優化過程過于復雜，因此往往采用將齒形系數等離散變量取定值的方式進行優化計算，使得最終的優化結果存在一定的偏差。
本文以二級減速器為例，改變了以往將離散變量取定值的方式，通過對離散變量的擬合，建立關于設計參數和離散變量之間的函數關系，從而構建新的優化模型，并采用 MATLAB中的優化函數進行計算，縮短設計周期，并找到更可靠的設計結果。
二、建立優化模型
該二級圓柱直齒齒輪減速器的模型如圖1所示。該減速器高速級連接上級傳動裝置，低速級直接連接工作機。已知工作機額定功率P=9kW，額定轉速為 n=80r/ min，要求該傳動部分的總傳動比為31.5，誤差5%以內。現以總中心距最小為目標來確定設計方案。
圖1 結構簡圖
選取設計變量：采用標準齒輪進行設計，故齒輪分度圓壓力角α=20°。由于齒輪采用非對稱分布，取齒輪的齒寬系數 φd = 1。各級齒輪的材料選擇如表1所示。
表1 各齒輪材料參數表
二級圓柱直齒齒輪的總中心距為：
式中：m1 和 m2 分別表示高速級和低速級的模數;z1 和z3 分別表示高速級和低速級的小齒輪齒數;i1 和i2 為高速級和低速級的傳動比。
由于齒輪減速器的總傳動比為 31.5，即i1 *i2 = 31.5，所以i1 和i2 為相關變量，取其中一個作為設計變量即可。
最終選取的獨立的設計變量為 m1、m2、z1、z3、i1，即：
建立目標函數：將式(1)中的各參數用設計變量來代替，可得到目標函數，即：
參數擬合：在齒輪的設計過程中，離散變量如齒形系數、應力修正系數對于齒輪應力的計算有著較大的影響。離散變量的處理不當可能會造成強度的校核出現誤差，并最終導致事故的發生。
但是對于離散變量的優化方法研究不盡如人意，而連續變量的優化問題已比較完善。所以本文通過MAT- LAB軟件將齒形系數、應力修正系數等離散變量擬合為連續函數，從而進行優化求解。MATLAB擬合曲線的方式有線性擬合，高斯曲線以及多項式曲線等。由于多項式擬合具有函數形式簡單、運算速度快、適用于多種類型曲線并且可以隨著最高次冪的增加而不斷減少誤差等優點，所以本文選擇多項式擬合來處理離散變量。
本文采用 MATLAB 中的 CurveFittingToolbox 進行擬合。在該工具箱提供的圖形化用戶界面(GUI)中選擇 Polynomial 進行多項式擬合，并為了保證計算的準確性，要求擬合結果的SSE值(和方差)要小于0.05。
齒形系數YFa的擬合： 齒形系數YFa是與齒輪齒數Z有關的離散變量，現將齒數作為自變量，將齒形系數作為因變量，繪制其散點圖，如圖2。
圖2 齒形系數與齒數關系散點圖
由于該散點圖呈現明顯的非線性關系，所以從二次多項式開始擬合，并得到擬合的函數圖形，如圖3。
圖3 齒形系數擬合曲線
經擬合分析可知，二次多項式擬合、三次多項式擬合和四次多項式擬合的SSE值為0.204，0.08524和0.0272。當擬合函數為四次多項式時，可滿足誤差要求。
所以最終得到齒形系數與齒數的關系為：
應力修正系數YSa的擬合：應力修正系數YSa同樣只與齒數有關，其散點圖如圖4。
圖4 應力修正系數與齒數關系散點圖
分析該散點圖可發現，該圖形雖然呈現了非線性的趨勢，但是最大值和最小值之間數值差距較小，分布較為集中。所以從一次多項式開始擬合，并得到擬合的函數圖形，如圖5
圖5 應力修正系數擬合曲線
經擬合分析可知，一次多項式擬合、二次多項式擬合和三次多項式擬合的 SSE 值為0.043，0.007864和 0.001577。雖然最高次冪越高，誤差越小，但是由于一次多項式誤差已可滿足要求，所以應力修正系數與齒數的關系為：
設置約束條件：約束條件是指減速器滿足設計要求時應該滿足的條件，其中主要包括對齒面接觸強度的校核以及對齒根彎曲強度的校核。此外，還要考慮由于外界等其他因素產生的邊界約束條件以及不干涉條件。
齒面接觸強度條件：由齒面接觸疲勞強度校核公式：
由于一對嚙合的齒輪接觸應力相等，所以只需考慮許用接觸強度較小的齒輪即可。因此，高速級和低速級的齒輪接觸強度的約束條件分別為：
式中：kH1，kH3分別表示高速級和低速級的齒面載荷系數，根據該減速器的工作狀態取kH1=kH3=1.5;
[σH]1、[σH]3 許用接觸強度：高速級和低速級嚙合齒輪的兩種材料的最小值，取[σH]1=[σH]3=523 MPa;
T1、T2：分別表示高速軸和中間軸的轉矩，T1 =
單 位 為 N/mm;
zH：區域系數，由齒輪分度圓壓力角α=20°可得zH = 2.5 MPa1/2
zE：彈性影響系數，兩對齒輪材料都為鍛鋼，其值為 189.8 MPa1/2;
齒根彎曲強度條件： 由齒根彎曲疲勞強度校核公式：
可得高速級與低速級各齒輪的彎曲強度的約束條件分別為：
式中：kF1、kF2、kF3、kF4：分別表示高速級和低速級的齒根載荷系數，根據工作狀態取kF1=kF2=kF3=kF4=1.5;
將各級齒輪齒數帶入式(2)，并將參數替換為設計變量，可得：
將各級齒輪齒數帶入式(3)，并將參數替換為設計變量，可得：
不干涉條件：為保證高速級的大齒輪與低速級軸線在工作時，不發生碰撞干涉，則需滿足：
式中：S：大齒輪齒頂圓和低速軸線間的安全距離，取 S=50mm。
邊界約束：根據齒輪傳動的性能要求，綜合考慮齒輪在制造過程中不發生根切，傳動過程中要保證傳動平穩、能夠滿足短期過載及高速級和低速級的大齒輪入油深度等因素。根據工程實際經驗對各設計變量進行邊界約束，其取值范圍分別為：
由此可建立10個不等式約束條件：
三、程序運行結果及其處理
MATLAB中的fmincon函數是用于求解非線性多元函數最小值的優化函數。該函數可根據設定的目標函數、約束條件直接進行優化計算。該方法避免了對算法的重復編程，相比其他的優化方法提高了效率，并且由于該函數主要針對非線性問題進行優化，適合本文的優化問題，也使得求出的最優解更加可靠。
按照前文所述，建立該優化問題的目標函數、約束條件的 M 文件，并將傳統設計結果x0=[3，3，30，30，5]T 作為優化的初始值帶入fmincon函數進行優化，得到的優化的結果為
由于在優化過程中，將離散變量作為連續變量考慮，現需將結果轉化為相應的離散數據。同時，由于x當前的值為最優解，對x進行離散化之后并不能確定最優解的取值，因此選擇x中各個參數的雙邊數值作為可行解，進行下一步的分析。
x1、x2 表示模數，只能按照國標中的第一系列或第二系列選取；x3、x4 表示齒數，只能取整數，可得：
x1=2.3009，取2或2.5;
x2=2.8159，取2.5或3。
x3=20.1021，取20或21;
x4=29.4283，取29或30。
對約束條件分析可知，當 x1 =2 或 x2 =2.5 時，會造成齒根彎曲應力過大，約束條件中的 G3(x)～G6(x)無法同時滿足小于零的要求，因此模數的取值只能是：x1=2.5，x2=3。
當x1、x2 的取值確定之后，僅剩下4組優化數據，當其分別帶入約束條件，發現都能滿足要求，然后將其帶入目標函數，可得表2。
表2 優化結果分析
對表2進行分析可知，方案1既能滿足所有的約束條件，又能使得中心距最小，滿足設計要求。
但是由于嚙合齒輪之間參數的相關性，設計變量僅僅選取了高速級和低速級的小齒輪參數。所以，當選擇傳動比為5.72時，無法保證大齒輪齒數為整數，因此還要對大齒輪齒數進行效驗、圓整。高速級大齒輪齒數z2 =20* 5.72=114.4，取114；低速級大齒數齒數z4 =29*31.5/ 5.72=159.7，取160。經過大齒輪圓整之后，傳動比變為
滿足誤差5%之內的要求。最終得齒輪的參數如表3，并得到實際中心距為451mm。
表3 各齒輪參數
四、結論
通過該二級減速器的優化過程，可得到結論：
(1)結合表2和表3中優化前后的數據對比發現：采用傳統方法設計的減速器中心距為598.5mm，而采用優化設計得到的中心距為 451mm，比原方案中減少了約25%。所以通過優化設計的方式節約了材料，使得結構更為緊湊，達到了更好的經濟技術指標。
(2)在設計過程中，通過數學擬合的方法，將離散變量轉化為連續變量，從而使得離散變量和設計參數之間建立了函數關系，并通過限定 SSE值的方式，確保了擬合函數的準確度。該方法相對于以往的將離散變量直接取定值的方式更加嚴謹，也使得優化的結果更加可靠。
(3)整個設計方案的編程、求解是在 MATLAB 中進行的。該軟件提供了大量的內嵌函數，從而在擬合、優化的過程，減小了編程的難度，可以讓工程人員將精力放在主要問題的求解上。同時計算機強大的運算性能避免了傳統方法和人工計算的試錯過程，提高了設計的效率，也為以后的減速器設計提供了參考，具有一定的應用前景及實際指導意義。
參考文獻略